Žinios

Kaip faktorizuoti antrojo laipsnio polinomą (antrojo laipsnio lygtis)

Posted on
Autorius: Monica Porter
Kūrybos Data: 17 Kovas 2021
Atnaujinimo Data: 1 Liepos Mėn 2024
Anonim
How to Factor Second-degree Polynomials Quick and Easy Trick
Video.: How to Factor Second-degree Polynomials Quick and Easy Trick

Turinys

Šiame straipsnyje: Atlikite bandymus ir klaidas. Tęskite skilimą „Trigubas žaidimas“ Dviejų kvadratų skirtumasNaudokite kvadratinę formulęSkaičiuoklės naudojimas

Polinomą sudaro kintamasis (x), padidintas iki tam tikros galios, vadinamos polinomo laipsniu, ir keletas kitų žemesniųjų laipsnių terminų ir (arba) kelių kitų konstantų. Faktorizuoti antrojo laipsnio polinomą (dar vadinamą „kvadratine lygtimi“) reiškia sumažinti pradinę išraišką mažesnių laipsnių išraiškų sandauga, kurią vėliau galima padauginti iš kitos. Šios žinios yra vidurinės mokyklos dalis ir dar daugiau, todėl šį straipsnį gali būti sunku suprasti, jei dar neturite reikiamo lygio matematikos.


etapai

Norėdami pradėti



  1. Parašykite savo išraišką. Standartinė antrojo laipsnio lygties forma yra:

    ax + bx + c = 0
    Pradėkite išdėstyti savo lygties sąlygas pagal galių tvarką, nuo didžiausios iki mažiausios, kaip standartinėje formoje. Paimkite, pavyzdžiui:

    6 + 6x + 13x = 0
    Mes pertvarkysime šią išraišką, kad palengvintume darbą, tiesiog perkeldami terminus:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Raskite faktinę formą, naudodamiesi vienu iš žemiau paaiškintų metodų. Faktorizacija duos du trumpesnius posakius, kurie suteiks pradinę polinomą, jei padauginsime juos vienas iš kito:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Šiame pavyzdyje (2x +3) ir (3x + 2) yra veiksniai pradinės išraiškos, 6x + 13x + 6.




  3. Patikrinkite savo darbą! Padauginkite nustatytus veiksnius. Tada derinkite panašius terminus ir viskas bus padaryta. Pradėkite nuo:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Pradėkime išbandyti šią išraišką, padaugindami dviejų išraiškų terminus, kad gautume:

    6x + 4x + 9x + 6
    Iš ten galime pridėti 4x ir 9x, nes jie yra to paties laipsnio terminai. Tuomet mes žinome, kad mūsų veiksniai yra teisingi, nes mums gerai priklauso nuo išėjimo išraiškos:

    6x + 13x + 6.

1 būdas. Atlikite bandomąją ir klaidą

Jei kalbate apie gana paprastą polinomą, turėtumėte sugebėti pastebėti, kad jo skilimas yra faktoriaus produktas iš pirmo žvilgsnio. Pavyzdžiui, daugelis matematikų sugeba pamatyti tą išraišką 4x + 4x + 1 faktoriai (2x + 1) ir (2x + 1) pateikiami pagal įprotį ir turint patirties (akivaizdu, kad tai nėra taip paprasta sudėtingų polinomų atveju). Šiame pavyzdyje paimkime mažiau paplitusią išraišką:


3x + 2x - 8

.



  1. Sudarykite koeficientų sąrašą turi ir c. Naudojant formos išraišką ax + bx + c = 0, nustatykite koeficientus turi ir c ir išvardykite atitinkamus veiksnius. Skirta: 3x + 2x - 8, tai suteikia:

    a = 3 ir turi tik vieną faktorių porą: 1 * 3
    c = -8 ir keturios poros faktorių: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ir -1 * 8 ..



  2. Ant savo popieriaus lapo užrašykite dvi poras skliaustų su tarpais, kad galėtumėte parašyti jų viduje. Pateiktoje vietoje įvesite kiekvienos išraiškos konstantas:

    (x) (x).



  3. Prieš x parašykite galimų koeficiento faktorių porą turi. Dėl koeficiento turi mūsų pavyzdyje 3x yra tik viena galimybė:

    (3x) (1x).



  4. Tada užpildykite dvi likusias tuščias vietas koeficiento koeficientu c. Imkime 8 ir 1 pavyzdžius. Užrašykite juos:

    (3x8) (X1).



  5. Dabar nuspręskite ženklą (daugiau arba mažiau) tarp x ir skaičiaus, kurį įvedėte po jo. Pagal originalios išraiškos ženklą galima rasti, kokie turėtų būti konstantų ženklai. kvietimas h ir k mūsų veiksnių konstantos:

    Jei ax + bx + c, tada (x + h) (x + k)
    Jei ax - bx - c arba ax + bx - c, tada (x - h) (x + k)
    Jei ax - bx + c, tada (x - h) (x - k)
    Mūsų pavyzdyje 3x + 2x - 8 ženklai turi būti išdėstyti taip: (x - h) (x + k), kuris parodo šiuos du veiksnius:

    (3x + 8) ir (x - 1).



  6. Patikrinkite savo faktinę formą, pertvarkydami ją. Pirmasis greitas testas yra patikrinti, ar vidurinysis terminas turi teisingą vertę. Jei x nėra geras, tada galbūt pasirinkote netinkamą koeficiento porą c, Patikrinkime mūsų rezultatus:

    (3x + 8) (x –1)
    Padauginę, gauname:

    3x - 3x + 8x - 8
    Pridėję panašius terminus (-3x) ir (8x), kad supaprastintume šią išraišką, gauname:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Dabar žinome, kad tikriausiai nustatėme neteisingus veiksnius:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Jei reikia, apsikeiskite pasirinktu veiksniu. Mūsų pavyzdyje pabandykime 2 ir 4, o ne 1 ir 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Dabar mūsų koeficientas c yra -8, tačiau daugybos (3x * -4) ir (2 * x) duoda -12x ir 2x, kurios, be to, ne visada suteikia pradinę reikšmę b, tai yra + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Jei reikia, pakeiskite užsakymą. Savo pavyzdyje apverčiame 2 ir 4 vietą:

    (3x + 4) (x –2)
    Dabar koeficientas c visada yra gerai, tačiau x reikšmių koeficientai šį kartą yra verti –6x ir 4x. Pridėjus, tai suteikia:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Mes labai arti pradinės 2x vertės, kurią mes ieškome rasti, tačiau ženklas nėra geras.



  9. Jei reikia, dar kartą patikrinkite ženklus. Dabar laikysimės tos pačios tvarkos, tačiau keisimės ženklais:

    (3 x 4) (x + 2)
    Koeficientas prieš c visada yra gerai, o terminai x dabar verti (6x) ir (-4x). Nuo:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Taigi gauname 2x, kuriuos iš pradžių turėjome. Taigi tikriausiai radome tinkamus veiksnius.

2 metodas Atliekamas skaidymas

Šis metodas leis mums nustatyti visus įmanomus veiksnius koeficientams gauti turi ir c ir naudokite juos, kad nustatytumėte, kurie veiksniai yra tinkami. Jei skaičius yra labai didelis arba kiti bandymų ir klaidų metodai atrodo per ilgi, galite naudoti šį metodą. Paimkite šį pavyzdį:

6x + 13x + 6

.



  1. Padauginkite koeficientą turi pagal koeficientą c. Mūsų pavyzdyje turi yra lygus 6 ir c taip pat lygus 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Raskite koeficientą b faktorizuodami ir tikrindami gautus veiksnius. Mes ieškome dviejų skaičių, kurie yra produkto veiksniai turi * c kuriuos mes nustatėme ir kurių suma yra verta koeficiento "b" vertės (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Pateikite du ką tik įvestus skaičius į savo lygtį; padėkite juos prieš x, kad jų suma būtų lygi koeficientui b. Paimkime raides k ir h pavaizduoti du gauti skaičiai, 4 ir 9:

    kirvis + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Pabrėžkite savo polinomą grupuodami. Sutvarkykite lygtį taip, kad būtų rastas didžiausias pirmųjų dviejų dėmenų bendras faktorius ir didžiausias paskutinių dviejų dėmenų bendras veiksnys. Tada turėtumėte gauti dviejų vienodų faktinių formų sumą. Susumuokite du koeficientus ir suklijuokite juos skliausteliuose priešais jūsų faktinę formą; tada gausite du savo veiksnius:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

3 metodas „trigubas žaidimas“

Šis metodas yra labai panašus į ankstesnį. Tai susideda iš galimų koeficientų sandaugos faktorių ištyrimo turi ir c, tada naudokite juos, kad surastumėte b, Paimkite, pavyzdžiui, šią lygtį:

8x + 10x + 2



  1. Padauginkite koeficientą turi pagal koeficientą c. Kaip ir skaidymo metodas, tai padės mums nustatyti potencialius koeficiento kandidatus b, Mūsų pavyzdyje turi yra lygus 8 ir c yra verta 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Raskite du skaičius, kurių sandauga yra skaičius, ką tik rastas anksčiau (16), ir kurių suma suteikia koeficientą „b“. Šis žingsnis yra identiškas skilimo metodui - tai yra, mes patikriname ir atmetame kandidatus į konstantas. Koeficientų sandauga turi ir c yra lygus 16, o koeficientas c yra lygus 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Paimkite šiuos du skaičius ir pakeiskite juos į „trigubo žaidimo“ formulę. Paimkite du numerius iš ankstesnio žingsnio - paskambinkime jiems h ir k - ir pateikite juos tokia išraiška:

    ((kirvis + h) (kirvis + k)) / a

    Tada mes gauname:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Raskite, kurie iš skaitiklyje pateiktų skliaustų yra dalijami iš koeficiento turi. Šiame pavyzdyje mes patikriname, ar (8x + 8) arba (8x + 2) galima padalyti iš 8. (8x + 8) dalijama iš 8, tada šią išraišką padalinsime iš: turi ir palikite kitą išraišką tokią, kokia ji yra.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Išreiškimas, kurį mes čia laikome, yra tas, kuris lieka padalijus iš koeficiento turi : (x + 1).



  5. Raskite - jei yra - didesnį bendrą veiksnį abiejose skliaustuose. Mūsų pavyzdyje antrosios išraiškos bendras koeficientas yra didesnis 2, nes 8x + 2 = 2 (4x + 1). Derinkite šį atsakymą su posakiu, kurį radote ankstesniame žingsnyje. Taigi jūs nustatėte du savo polinomo veiksnius.

    2 (x + 1) (4x + 1).

4 metodas Dviejų kvadratų skirtumas

Kai kuriuos polinomų koeficientus galima identifikuoti kaip „kvadratus“, tai yra kaip dviejų skaičių daugybos sandauga. Identifikuodami šiuos kvadratus, galite daug greičiau nustatyti kai kuriuos polinomus. Paimkite, pavyzdžiui, lygtį:

27x –12 = 0



  1. Jei įmanoma, viską pradėkite nuo didesnio bendro veiksnio. Mūsų pavyzdyje matome 27 ir 12, abu padalijami iš 3, todėl pradinę išraišką galime „suardyti“ taip:

    27x –12 = 3 (9x – 4).



  2. Išsiaiškinkite, ar jūsų lygties koeficientai yra kvadratiniai skaičiai. Norėdami naudoti šį metodą, turėtumėte sugebėti rasti savo koeficientų kvadratines šaknis (atkreipkite dėmesį, kad mes nelaikome neigiamų ženklų - kadangi kalbame apie kvadratus, jie gali būti dviejų teigiamų skaičių arba neigiamas)

    9x = 3x * 3x ir 4 = 2 * 2.



  3. Parašykite savo veiksnius naudodami rastas kvadratines šaknis. Paimkite vertybes turi ir c anksčiau rastas - turi = 9 ir c = 4 - prieš surandant jų kvadratinę šaknį - √turi = 3 ir √c = 2. Tai bus mūsų išreikštų išraiškų koeficientai:

    27 x 12 = 3 (9 x 4) = 3 (3 x + 2) (3 x 2)

5 metodas Kvadratinės formulės naudojimas

Jei visi aukščiau išvardyti metodai nepavyko ir negalite rasti teisingų savo lygties veiksnių, naudokite kvadratinę formulę. Paimkite šį pavyzdį:

x + 4x + 1 = 0



  1. Paimkite koeficientų „a“, „b“ ir „c“ reikšmes ir pakeiskite jas tokia kvadratine formule:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Tada gauname posakį:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Išspręskite lygtį ir raskite x. Kaip matote aukščiau, turėtumėte gauti dvi x reikšmes:


    x = -2 + √ (3) arba x = -2 - √ (3).



  3. Norėdami rasti veiksnius, naudokite x reikšmę. Įveskite anksčiau gautas x reikšmes kaip dviejų polinomų išraiškų konstantas. Tai bus jūsų veiksniai. kvietimas h ir k x reikšmes ir užrašykite dvi faktines formas:

    (x - h) (x - k)
    Tokiu atveju galutinis rezultatas yra:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

6 metodas Skaičiuotuvo naudojimas

Jei jums leidžiama naudoti grafinę skaičiuoklę, atminkite, kad tai labai palengvins jūsų užduotį, ypač per egzaminus. Šios instrukcijos galioja tik „Texas Instrument“ prekės ženklo grafiniams skaičiuotuvams. Paimkite, pavyzdžiui, šią lygtį:

y = x - x - 2



  1. Įveskite savo lygtį į skaičiuoklę. Turėsite naudoti „sprendimo lygtį“, tai yra ekraną.



  2. Grafiškai parodykite savo lygtį skaičiuotuve. Įvedę lygtį, paspauskite - tada turėtumėte pamatyti grafinę kreivės atvaizdą (tiksliau, gausite „lanką“, nes dirbate su polinomais).



  3. Raskite lanko susikirtimo taškus su x ašimi (x). Kadangi polinominės lygtys tradiciškai rašomos tokia forma: ax + bx + c = 0, tai yra dvi x reikšmės, kurių išraiška lygi nuliui:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Jei negalite perskaityti reikšmių, kur jūsų kreivė kerta x ašį, paspauskite tada. Paspauskite arba pasirinkite „nulis“. Perkelkite žymeklį į kairę nuo vienos iš sankryžų ir paspauskite. Tada perkelkite žymeklį į dešinę nuo šios sankryžos ir dar kartą paspauskite. Tada perkelkite žymeklį kuo arčiau sankryžos ir dar kartą paspauskite. Skaičiuotuvas ras x reikšmę. Atlikite tą patį veiksmą kitoje sankryžoje.



  4. Galiausiai įveskite x reikšmes, gautas ankstesniame žingsnyje, į dviejų faktorių išraišką. Jei paskambintume h ir k mūsų dvi x reikšmes, tada naudosime šią išraišką:

    (x - h) (x - k) = 0
    Taigi, gausime šiuos du veiksnius:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Pieštukas
  • Popierius
  • Antrojo laipsnio lygtis (arba kvadratinė lygtis)
  • Grafikų skaičiuoklė (neprivaloma)